Аннотация. Предлагается критический анализ стандартных оснований дифференциального и интегрального исчислений. Методическим базисом анализа является единство формальной логики и рациональной диалектики. Показывается, что стандартные основания дифференциального и интегрального исчислений базируются на логически и практически ошибочных понятиях «бесконечно малая (бесконечно умаляющаяся) величина», «производная», «производная как функция переменной величины» и, следовательно, представляют собой некорректный базис математики.

Ключевые слова: основания математики, философия математики

Введение

Как известно, формализм дифференциального и интегрального исчислений широко и успешно используется в естественных науках. Изложению современного состояния этого раздела математики посвящено много работ. Однако это не означает, что проблема обоснования дифференциального и интегрального исчислений полностью решена в 20-21 веках и теперь основания дифференциального и интегрального исчислений не нуждаются в формально-логическом анализе. В последнее время возникла необходимость критического анализа оснований дифференциального и интегрального исчислений в рамках корректного методологического базиса – единства формальной логики и рациональной диалектики.

Критический анализ невозможен без правдоподобных рассуждений. «Мы закрепляем свои математические знания доказательными рассуждениями, но подкрепляем свои предположения правдоподобными рассуждениями. Все новое, что мы узнаем о мире, связано с правдоподобными рассуждениями, являющимися единственным типом рассуждений, которым мы интересуемся в повседневных делах.  Математика в процессе создания напоминает любые другие человеческие знания, находящиеся в процессе создания.  Вы должны догадаться о математической теореме, прежде чем ее докажете; вы должны догадаться об идее доказательства, прежде чем проведете его в деталях. Результат творческой работы математика – доказательное рассуждение, доказательство;  но доказательство открывается с помощью правдоподобно рассуждения, с помощью догадки. Доказательное рассуждение и правдоподобное рассуждение дополняют друг друга. Решение математической задачи также может внушаться природой; физика обеспечивает нас такими ключами. Математическая картина  была бы слишком узкой без решения с помощью физической интерпретации» [1].

В настоящее время нет критических математических работ, выполненных в рамках корректного методологического базиса – единства формальной логики и рациональной диалектики. Цель данной работы – предложить критический анализ оснований дифференциального и интегрального исчислений, основанный на правдоподобном рассуждении в рамках методологического базиса –  единства формальной логики и рациональной диалектики.

Правдоподобные основания дифференциального и интегрального исчислений

Дана непрерывная функция одного аргумента :

.

1. Пусть аргумент получает приращение . Новое (наращенное) значение аргумента есть . Тогда величина функции получит приращение , и новым (наращенным) значением функции будет

.

Приращение функции имеет вид:

.

2. Если приращение аргумента стремится к нулю (т.е. ), то делается бесконечно малым (т.е. непрерывно умаляющимся). Предел этого стремления записывается следующим образом:  

.

3. Понятия «переменная величина стремится к пределу », «переменная величина , стремящаяся к пределу » и «процесс  стремления переменной величины к пределу » не тождественны понятию «предел  переменной величины равен », т.е. выражение не тожественно выражению :

.

4. Понятие  «»  кратко обозначается символом :

.

«Переменная величина» является бесконечно умаляющейся величиной и называется дифференциалом переменной величины [2, 3].  Переменная величина в выражении и «переменная величина» пробегают множество допустимых значений, не останавливаясь  ни на одном из них.

5. Если , то приращение функции является бесконечно малым:  .  Предел этого стремления записывается следующим образом:

6. Понятия «переменная величина стремится к пределу », «процесс стремления переменной величины к пределу » и «переменная величина , стремящаяся к пределу » не тождественны понятию «предел переменной величины равен », т.е. выражение не тожественно выражению :

.

7. Понятие «»  кратко обозначается символом :

.

«Переменная величина» является бесконечно умаляющейся величиной и  называется дифференциалом переменной величины [2, 3]. Переменная величина в выражении и «переменная величина» пробегают множество допустимых значений, не останавливаясь ни одном из них.

8. Отношение приращений и предел этого отношения имеют вид:

,

9. Отношение приращений

до перехода к пределу зависит от двух переменных величин: а) от начального значения аргумента; б) от величины приращения аргумента. Но предел этого отношения при перестает уже зависеть от исчезающего , потому что при отыскании указанного предела начальное значение аргумента предполагается постоянной величиной (всякий предел переменной величины есть величина постоянная) [2, 3]. Поэтому предел

,

будучи величиной постоянной, может оказаться зависящим только от начального значения аргумента . Этот предел является выражением, содержащим только букву , и, следовательно, это есть некоторая новая функция (или )   аргумента .

10. Новая функция (или ) аргумента , произведенная данной функцией , называется производной функции от данной функции . Подчеркивая то обстоятельство, что эта новая функция произведена данной функцией с помощью некоторого процесса, производную обозначают такими символами: или .

11. Отношение дифференциалов

имеет следующий смысл:

.

Очевидно,

12. Если соотношение между   и   имеет вид

,   т.е.    ,

или форму строгого равенства [2, 3]

,  т.е.   ,

то это соотношение представляют собой постулат, основанный на интуиции и следующем частном предположении:

13. Прекращение процесса ,  и возвращение от бесконечно малых (т.е. бесконечно умаляющихся) переменных величин , к конечным переменным величинам , , не стремящимся к , осуществляется операцией интегрирования, обозначаемой символом интеграла :

,  ,  .  ,  где  ,  ;

,  , , ,  где  ,  .

Приведенные выше формулы удовлетворяют закону формальной логики – закону тождества, так как левая и правая части формул имеют один и тот же смысл, принадлежат одной и той же качественной определенности:

(бесконечно умаляющаяся величина)(бесконечно умаляющаяся величина)

и

(конечная величина)(конечная величина).

Обсуждение

1. Главное различие между полученными формулами и стандартными (общепринятыми) формулами дифференциального исчисления состоит в том, что стандартные формулы [2, 3]

,  

не удовлетворяют закону формальной логики – закону тождества, так как левая и правая части формул не имеют одного и того же смысла, не принадлежат одной и той же качественной определенности. Действительно, переменные величины и – это бесконечно малые (т.е. бесконечно умаляющиеся) величины, а переменные величины и – конечные (т.е. не бесконечно умаляющиеся) величины. С точки зрения формальной логики (т.е. закона тождества), должно выполняться отношение тождества между величинами:

(бесконечно умаляющаяся величина)(бесконечно умаляющаяся величина)

и

(конечная величина)(конечная величина).

Кроме того, согласно закону противоречия, бесконечно малые (т.е. бесконечно умаляющиеся) величины и конечные (не бесконечно умаляющиеся) величины должны быть связаны логическим отношением отрицания:

(бесконечно умаляющаяся величина)(не бесконечно умаляющаяся величина).

Но  стандартные математические соотношения

,  

противоречат закону тожества и, следовательно, представляют собой логическую ошибку.

2. В классической механике использование определения производной приводит к логической ошибке. Действительно,  пусть материальная точка движется в положительном направлении оси и характеризуется координатой - непрерывной функцией времени . Если, то , т.е., в соответствии с практикой и формальной логикой, значение координаты не изменяется и, следовательно, движения нет (т.к. по определению, движение есть изменение вообще).  Но, в противоречии с практикой и формальной логикой, дифференциальное исчисление и классическая механика содержат утверждение, что скорость существует без движения. Тогда скорость является не реальной (т.е.  не физической) величиной, а фиктивной величиной. Поэтому использование нефизической (нереальной) величины (т.е. первой и второй производной функции) в классической механике является логической ошибкой.

     3. Согласно формальной логике (т.е. закону тождества и закону противоречия), должны выполняться следующие логические отношения между величинами:

(реальная величина) (реальная величина),

(нереальная величина)  (нереальная величина),

(реальная величина) (нереальная величина).

Но

в соотношении

является нереальной величиной, математической фикцией. Следовательно, соотношение

представляет собой логическую ошибку.

4. Бесконечно малая (бесконечно умаляющаяся) величина не может принимать численные значения. Действительно, если подставить, например,   в соотношение

,

то получится бессмысленное соотношение:

.

Переменные величины и   стремятся к нулю, не принимая ни одного численного значения. Но такое поведение переменных величин противоречит опыту. Следовательно, бесконечно малые величины , являются фиктивными величинами, и понятие «бесконечно малая величина»  представляет собой логическую ошибку.

     5. Бесконечно малые величины (например,  и ) не имеют ни алгебраического смысла, ни геометрического смысла, т.к. эти величины не принимают численных значений и, следовательно, не имеют количественной меры. Это означает, что

величина   не является коэффициентом в соотношении

.

Кроме того, с точки зрения формальной логики, выражения типа ошибочны, потому что (т.е. конечная величина) и (т.е. бесконечно малая величина) имеют  разный смысл, разную качественную определенность. Также, производная не имеет геометрического смысла. Действительно, если

,

(где    –  угол наклона секущей линии к оси абсцисс), то положение секущей линии становится неопределенным при и , потому что: (а) треугольник, образованный прямолинейными отрезками , и секущей линией, вырождается (треугольник и угол не существуют); (б) через одну точку проходит множество прямых линий. Но одна точка не определяет положения прямой линии. Следовательно, величина

не определяет касательной линии.

     6. В согласии с формальной логикой, справедливо следующее утверждение: если переменная величина принимает численные значения      и  ,  то

,    ,

где представляет собой результат операции сложения . Различие между переменными величинами ,  и их численными значениями выражается с помощью нижних индексов. Для того, чтобы перейти от операции сложения численных значений к операции сложения переменных величин и  , следует удалить нижние индексы в числовых выражениях. Тогда получается следующее соотношение:  . Это соотношение согласуется с формулой

,  

только при условии . При этом условии выражение

принимает корректный вид:

.

Отсюда видно, что  при .  В этом случае

не содержит переменной величины  и зависит только от . Это означает, что дифференциальное исчисление является некорректной теорией, потому что формула для производной содержит переменную величину .

Заключение

     Таким образом, основания стандартных дифференциального и интегрального исчислений [2, 3] базируются на логически и практически ошибочных понятиях «бесконечно малая (бесконечно умаляющаяся) величина», «производная», «производная как функция переменной величины » и, следовательно, представляют собой некорректный базис математики. Поистине, стандартная «математика есть доктрина, в которой неизвестно, о чем мы говорим и верно ли то, что мы говорим» (Бертран Рассел).

Литература

[1] G. Polya. Mathematics and plausible reasoning. Princeton, 1954.

[2] В.И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. 1. Москва, 1974.

[3] Н.Н. Лузин. Дифференциальное исчисление. Москва, 1952.