Добавить в избранное
Структурный гороскоп
Лаборатория
Астрология
Соционика
Циклы истории
Психософия
Психология
Биоритмы
Хиромантия
Сонник
Иллюзии
Народная медицина
Волжская группа
Космопоиск
Media
Психическое выживание
Мировоззрение Новой Эпохи
Новости
Библиотека
Публикации
Гороскопы онлайн
Консультации
Поблагодарить
Рассылки
Баннерная сеть


Версия для печати
Темур Зикириллаевич Каланов
кандидат физико-математических наук,
старший научный сотрудник
Дом физических проблем, г. Ташкент, Узбекистан
t.z.kalanov@rambler.ru
опубликовано на www.xsp.ru 17 января 2012 года

Критический анализ оснований дифференциального и интегрального исчислений

Аннотация. Предлагается критический анализ стандартных оснований дифференциального и интегрального исчислений. Методическим базисом анализа является единство формальной логики и рациональной диалектики. Показывается, что стандартные основания дифференциального и интегрального исчислений базируются на логически и практически ошибочных понятиях «бесконечно малая (бесконечно умаляющаяся) величина», «производная», «производная как функция переменной величины» и, следовательно, представляют собой некорректный базис математики.


Ключевые слова: основания математики, философия математики



«Физика, во-первых, дает нам  предчувствия решения; во-вторых, подсказывает нам ход рассуждений» (Анри Пуанкаре).



Введение

Как известно, формализм дифференциального и интегрального исчислений широко и успешно используется в естественных науках. Изложению современного состояния этого раздела математики посвящено много работ. Однако это не означает, что проблема обоснования дифференциального и интегрального исчислений полностью решена в 20-21 веках и теперь основания дифференциального и интегрального исчислений не нуждаются в формально-логическом анализе. В последнее время возникла необходимость критического анализа оснований дифференциального и интегрального исчислений в рамках корректного методологического базиса – единства формальной логики и рациональной диалектики.

Критический анализ невозможен без правдоподобных рассуждений. «Мы закрепляем свои математические знания доказательными рассуждениями, но подкрепляем свои предположения правдоподобными рассуждениями. Все новое, что мы узнаем о мире, связано с правдоподобными рассуждениями, являющимися единственным типом рассуждений, которым мы интересуемся в повседневных делах.  Математика в процессе создания напоминает любые другие человеческие знания, находящиеся в процессе создания.  Вы должны догадаться о математической теореме, прежде чем ее докажете; вы должны догадаться об идее доказательства, прежде чем проведете его в деталях. Результат творческой работы математика – доказательное рассуждение, доказательство;  но доказательство открывается с помощью правдоподобно рассуждения, с помощью догадки. Доказательное рассуждение и правдоподобное рассуждение дополняют друг друга. Решение математической задачи также может внушаться природой; физика обеспечивает нас такими ключами. Математическая картина  была бы слишком узкой без решения с помощью физической интерпретации» [1].

В настоящее время нет критических математических работ, выполненных в рамках корректного методологического базиса – единства формальной логики и рациональной диалектики. Цель данной работы – предложить критический анализ оснований дифференциального и интегрального исчислений, основанный на правдоподобном рассуждении в рамках методологического базиса –  единства формальной логики и рациональной диалектики.


Правдоподобные основания дифференциального и интегрального исчислений

Дана непрерывная функция img001 одного аргумента img002:


img003.


1. Пусть аргумент img004 получает приращение img005. Новое (наращенное) значение аргумента есть img006. Тогда величина функции img007 получит приращение img008, и новым (наращенным) значением функции будет


img009.


Приращение img010 функции имеет вид:


img011.


2. Если приращение img012 аргумента стремится к нулю (т.е. img013), то img014 делается бесконечно малым (т.е. непрерывно умаляющимся). Предел этого стремления записывается следующим образом:  


img015.


3. Понятия «переменная величина img016 стремится к пределу img017», «переменная величина img018, стремящаяся к пределу img019» и «процесс  стремления переменной величины img020 к пределу img021» не тождественны понятию «предел  переменной величины img022 равен img023», т.е. выражение img024 не тожественно выражению img025:


img026.


4. Понятие  «img027»  кратко обозначается символом img028:


img029.


«Переменная величина» img030 является бесконечно умаляющейся величиной и называется дифференциалом переменной величины img031 [2, 3].  Переменная величина img032 в выражении img033 и «переменная величина» img034 пробегают множество допустимых значений, не останавливаясь  ни на одном из них.

5. Если img035, то приращение img036 функции является бесконечно малым:  img037.  Предел этого стремления записывается следующим образом:


img038


6. Понятия «переменная величина img039 стремится к пределу img040», «процесс стремления переменной величины img041 к пределу img042» и «переменная величина img043, стремящаяся к пределу img044» не тождественны понятию «предел переменной величиныimg045 равен img046», т.е. выражение img047 не тожественно выражению img048:


img049.


7. Понятие «img050»  кратко обозначается символом img051:


img052.


«Переменная величина» img053 является бесконечно умаляющейся величиной и  называется дифференциалом переменной величины img054 [2, 3]. Переменная величина img055 в выражении img056 и «переменная величина» img057 пробегают множество допустимых значений, не останавливаясь ни одном из них.

8. Отношение приращений и предел этого отношения имеют вид:


img058,


img059



9. Отношение приращений


img060


до перехода к пределу зависит от двух переменных величин: а) от начального значения img061 аргумента; б) от величины приращения img062 аргумента. Но предел этого отношения при img063 перестает уже зависеть от исчезающего img064, потому что при отыскании указанного предела начальное значение img065 аргумента предполагается постоянной величиной (всякий предел переменной величины есть величина постоянная) [2, 3]. Поэтому предел


img066,


будучи величиной постоянной, может оказаться зависящим только от начального значения аргумента img067. Этот предел является выражением, содержащим только букву img068, и, следовательно, это есть некоторая новая функция img069 (или img070)   аргумента img071.

10. Новая функция img072 (или img073) аргумента img074, произведенная данной функцией img075, называется производной функции от данной функции img076. Подчеркивая то обстоятельство, что эта новая функция произведена данной функцией img077 с помощью некоторого процесса, производную обозначают такими символами: img078 или img079.

11. Отношение дифференциалов


img080


имеет следующий смысл:


img081.


Очевидно,


img082


12. Если соотношение между  img083 и  img084 имеет вид


img085,   т.е.    img086,


или форму строгого равенства [2, 3]


img087,  т.е.   img088,


то это соотношение представляют собой постулат, основанный на интуиции и следующем частном предположении:


img089


13. Прекращение процесса img090, img091  и возвращение от бесконечно малых (т.е. бесконечно умаляющихся) переменных величин img092, img093 к конечным переменным величинам img094, img095, не стремящимся к img096, осуществляется операцией интегрирования, обозначаемой символом интеграла img097:img098


img099,  img100,  img101.  img102,  где  img103,  img104;


img105,  img106, img107, img108,  где  img109,  img110.


Приведенные выше формулы удовлетворяют закону формальной логики – закону тождества, так как левая и правая части формул имеют один и тот же смысл, принадлежат одной и той же качественной определенности:


(бесконечно умаляющаяся величина)img111(бесконечно умаляющаяся величина)


и


(конечная величина)img112(конечная величина).



Обсуждение

1. Главное различие между полученными формулами и стандартными (общепринятыми) формулами дифференциального исчисления состоит в том, что стандартные формулы [2, 3]


img113,  img114


не удовлетворяют закону формальной логики – закону тождества, так как левая и правая части формул не имеют одного и того же смысла, не принадлежат одной и той же качественной определенности. Действительно, переменные величины img115 и img116– это бесконечно малые (т.е. бесконечно умаляющиеся) величины, а переменные величины img117 и img118 – конечные (т.е. не бесконечно умаляющиеся) величины. С точки зрения формальной логики (т.е. закона тождества), должно выполняться отношение тождества между величинами:


(бесконечно умаляющаяся величина)img119(бесконечно умаляющаяся величина)


и


(конечная величина)img120(конечная величина).


Кроме того, согласно закону противоречия, бесконечно малые (т.е. бесконечно умаляющиеся) величины и конечные (не бесконечно умаляющиеся) величины должны быть связаны логическим отношением отрицания:


(бесконечно умаляющаяся величина)img121(не бесконечно умаляющаяся величина).


Но  стандартные математические соотношения


img122,  img123


противоречат закону тожества и, следовательно, представляют собой логическую ошибку.

2. В классической механике использование определения производной приводит к логической ошибке. Действительно,  пусть материальная точка img124движется в положительном направлении оси img125 и характеризуется координатой img126 - непрерывной функцией времени img127. Еслиimg128, то img129, т.е., в соответствии с практикой и формальной логикой, значение координаты не изменяется и, следовательно, движения нет (т.к. по определению, движение есть изменение вообще).  Но, в противоречии с практикой и формальной логикой, дифференциальное исчисление и классическая механика содержат утверждение, что скорость img130 существует без движения. Тогда скоростьimg131 является не реальной (т.е.  не физической) величиной, а фиктивной величиной. Поэтому использование нефизической (нереальной) величины (т.е. первой и второй производной функции) в классической механике является логической ошибкой.

     3. Согласно формальной логике (т.е. закону тождества и закону противоречия), должны выполняться следующие логические отношения между величинами:


(реальная величина) img132 (реальная величина),


(нереальная величина) img133  (нереальная величина),


(реальная величина) img134 (нереальная величина).



Но


img135


в соотношении


img136


является нереальной величиной, математической фикцией. Следовательно, соотношение


img137


представляет собой логическую ошибку.

4. Бесконечно малая (бесконечно умаляющаяся) величина не может принимать численные значения. Действительно, если подставить, например,  img138 в соотношение


img139,


то получится бессмысленное соотношение:

img140

img141.


Переменные величины img142 и  img143 стремятся к нулю, не принимая ни одного численного значения. Но такое поведение переменных величин противоречит опыту. Следовательно, бесконечно малые величины img144, img145 являются фиктивными величинами, и понятие «бесконечно малая величина»  представляет собой логическую ошибку.

     5. Бесконечно малые величины (например, img146  и img147) не имеют ни алгебраического смысла, ни геометрического смысла, т.к. эти величины не принимают численных значений и, следовательно, не имеют количественной меры. Это означает, что

величина   img148 не является коэффициентом в соотношении


img149.



Кроме того, с точки зрения формальной логики, выражения типа img150 ошибочны, потому что img151 (т.е. конечная величина) и img152 (т.е. бесконечно малая величина) имеют  разный смысл, разную качественную определенность. Также, производная img153 не имеет геометрического смысла. Действительно, если


img154,


(где  img155  –  угол наклона секущей линии к оси абсцисс), то положение секущей линии становится неопределенным приimg156img157 и img158, потому что: (а) треугольник, образованный прямолинейными отрезками img159, img160 и секущей линией, вырождается (треугольник и угол img161 не существуют); (б) через одну точку img162 проходит множество прямых линий. Но одна точка img163 не определяет положения прямой линии. Следовательно, величина


img164


не определяет касательной линии.

     6. В согласии с формальной логикой, справедливо следующее утверждение: если переменная величина img165 принимает численные значения    img166  и  img167,  то


img168,    img169,


где img170 представляет собой результат операции сложения img171. Различие между переменными величинами img172, img173  и их численными значениями выражается с помощью нижних индексов. Для того, чтобы перейти от операции сложения численных значений к операции сложения переменных величин img174 и  img175, следует удалить нижние индексы в числовых выражениях. Тогда получается следующее соотношение:  img176. Это соотношение согласуется с формулой


img177,   img178


только при условии img179. При этом условии выражение


img180


принимает корректный вид:


img181.


Отсюда видно, что img182  при img183img184.  В этом случае


img185


не содержит переменной величины img186  и зависит только от img187. Это означает, что дифференциальное исчисление является некорректной теорией, потому что формула для производной содержит переменную величину img188.



Заключение

     Таким образом, основания стандартных дифференциального и интегрального исчислений [2, 3] базируются на логически и практически ошибочных понятиях «бесконечно малая (бесконечно умаляющаяся) величина», «производная», «производная как функция переменной величины img189» и, следовательно, представляют собой некорректный базис математики. Поистине, стандартная «математика есть доктрина, в которой неизвестно, о чем мы говорим и верно ли то, что мы говорим» (Бертран Рассел).


Литература

[1] G. Polya. Mathematics and plausible reasoning. Princeton, 1954.

[2] В.И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. 1. Москва, 1974.

[3] Н.Н. Лузин. Дифференциальное исчисление. Москва, 1952.







У Вас есть материал пишите нам
 
   
Copyright © 2004-2017
E-mail: admin@xsp.ru